Determinanty - Matematika



Determinant je zjednodušeně řečeno jedinečné číslo, které lze přiřadit každé čtvercové matici a to za pomoci operací, které budou zmíněny níže.

Označení determinantu se v závislosti na nejrůznější literatuře provádí nejčastěji dvěma způsoby:

1)A je čtvercová matice, potom determinant této matice označíme det A

2)A je čtvercová matice, potom determinant této matice označíme |A|

- Oba způsoby jsou ekvivalentní, je tedy úplně jedno, který z nich budete užívat

Výpočet determinantů

Podívejme se nyní, jak lze konkrétní determinant vypočítat. Je třeba zdůraznit, že výpočet determinantů matice vyššího řádu než 3 (tedy matice, která má tři řádky a tři sloupce) je značně složitý a vyžaduje větší matematickou znalost. U matic prvního, druhého a třetího řádu je algoritmus poměrně jednoduchý.

Určení determinantu čtvercové matice prvního stupně je nejjednodušší. Uvědomíme-li si, že čtvercová matice prvního stupně má jen jeden řádek a jeden sloupec, je zřejmé, že obsahuje pouze jedno číslo a to je zároveň přímo determinantem. Matice prvního řádu se však v praxi neřadí mezi matice, protože se jedná vlastně přímo o klasická čísla.

Př. 1. Určení determinantu čtvercové matice prvního stupně

Určeme determinant čtvercové matice prvního stupně (2)

det A = 2

Určení determinantu čtvercové matice druhého stupně je již o něco složitější. Vypočítá se tak, že vezmeme první člen prvního řádku a vynásobíme ho druhým členem druhého řádku a od tohoto součinu odečteme druhý člen prvního řádku vynásobení prvním členem druhého řádku. Dá se tedy říci, že vynásobíme členy hlavní úhlopříčky a od nich odečteme součin členů vedlejší úhlopříčky čtvercové matice. Není to nic složitého, podívejte se na příklad.

Př. 2. Určení determinantu čtvercové matice druhého stupně

Určeme determinant čtvercové matice druhého stupně

= 2x3 – 1x1 = 6 – 1 = 5

Určení determinantu čtvercové matice třetího řádu je ještě o něco složitější, ale vychází ze stejného algoritmu, jako v případě určování determinantu čtvercové matice druhého řádu. Zde je však potřeba vzít v úvahu místo dvou úhlopříček hned šest úhlopříček. Součiny členů, kteří se nachází na úhlopříčkách čtvercové matice jdoucích zleva doprava, se sčítají a součiny členů, kteří se nachází na úhlopříčkách čtvercové matice jdoucích zprava doleva, se odečítají, výsledkem je potom konkrétní determinant matice třetího řádu. Postup si budeme opět demonstrovat na příkladu. Pro usnadnění se využívá zápis prvních dvou sloupců matice za původní matici, aby se nám lépe pracovalo s úhlopříčkami.

Př. 3. Určení determinantu čtvercové matice třetího řádu

Určeme determinant čtvercové matice třetího řádu

det = 1x1x1 + 2x1x3 + 1x2x2 – 1x1x3 – 1x1x2 – 2x2x1 = 1 + 6 + 4 – 3 – 2 - 4 = 2

- první tři členy představují součiny úhlopříček jdoucích zleva doprava a čtvrtý, pátý a šestý člen představuje součiny úhlopříček jdoucích zprava doleva, ty je tedy nutno vzít se záporným znaménkem

Určení determinantu čtvercové matice čtvrtého a vyššího řádu je mnohem složitější. S tímto problémem se však běžně nesetkáte. Pokud byste se však rozhodli pro studium matematiky na vysoké škole, potom byste poznali mnoho způsobů, jak dojít k výsledku.

Zajímavosti o determinantech

Je vhodné se zmínit i o některých zajímavých vlastnostech souvisejících s výpočtem determinantů. Znalost některých potom vede k usnadnění práce.

1)Má-li jakákoliv čtvercová matice v některém řádku samé nuly, potom je její determinant rovný také nule.

2)Má-li jakákoliv čtvercová matice pod svou hlavní úhlopříčkou samé nuly, potom je její determinant roven pouhému součinu členů na hlavní úhlopříčce.

3)Pokud se v jakékoliv čtvercové matici rovnají dva řádky (na všech pozicích se shodují daná čísla), potom je determinant této matice roven nule.


Překlad z a do vietnamštiny | Online překladač