Matice - Matematika



                 

      Matice mají v matematice nezastupitelný význam. Používají se k počítání v mnoha oblastech. Jejich hlavním pozitivem je především skutečnost, že díky nim se počítání značně zjednoduší jak po stránce náročnosti, tak i co se týká časových možností.   

   

      Matice je zjednodušeně řečeno schéma, ve kterém se vyskytují čísla. Zápis matice je jednoduchý, představují ho řádky a sloupce čísel, které jsou ohraničeny v kulaté závorce.   

   

      Základní druhy matic a základní pojmy:   

   

      Matice čtvercová je taková matice, která má stejný počet řádků a sloupců.   

   

      Př. 1. Čtvercová matice:   

   

         

   

      Matice obdélníková je taková matice, která má rozdílný počet řádků a sloupců.   

   

      Př. 2. Obdélníková matice:   

   

         

   

      Matice trojúhelníková je taková matice, jejíž každý následující řádek od shora má na svém začátku vždy o jednu nulu více než předcházející řádek.   

   

      Př. 3. Trojúhelníková matice:   

   

         

   

      Matice jednotková je taková matice, která má na své hlavní úhlopříčce samé jedničky a na ostatních místech potom samé nuly. Hlavní úhlopříčka začíná na prvním členu prvního řádku, pokračuje druhým členem druhého řádku a končí obecně n-tým členem n-tého řádku. Jednotková matice musí být vždy čtvercová matice. U obdélníkové matice neexistuje hlavní úhlopříčka.   

   

      Př. 4. Jednotková matice:   

   

         

   

      Velikost matice je chápána jako zápis, uvádějící počet řádků a počet sloupců. Značí se a x b, kde a znamená počet řádků a b počet sloupců. Samotné matice se zkráceně zapisují velkými tiskacími písmeny se spodním indexem, který představuje velikost matice.   

   

      Př. 5. Zápis matice:   

   

      , matici lze napsat např. A2x3   

   

      Ve výjimečných případech se můžeme setkat s maticí řádkovou nebo maticí sloupcovou.   

   

      Řádková matice je taková matice, která má pouze jeden řádek.   

   

      Sloupcová matice je taková matice, která má pouze jeden sloupec.   

   

      Základní operace s maticemi   

   

      Mezi základní operace s maticemi se řadí sčítání dvou nebo více matic, odečítání dvou nebo více matic, dále potom násobení matice číslem a násobení dvou matic.   

   

      Jak se tyto operace provádějí, si ukážeme na jednotlivých příkladech. Bude to mnohem názornější a jednodušší na pochopení.   

   

      Sčítání matic je operace, kterou lze provádět pouze se shodnými maticemi, tedy takovými maticemi, které mezi sebou mají stejný počet řádků a stejný počet sloupců. Sčítání probíhá tak, že mezi sebou sčítáme čísla matic, která se nachází na stejných pozicích.   

   

      Př. 6. Sčítání matic:   

   

      Sečtěme dvě matice: a    

   

         

   

      Odečítání dvou matic je opět operace, kterou lze provádět pouze mezi shodnými maticemi, které mezi sebou mají stejný počet řádků a stejný počet sloupců. Postup je podobný, jako u operace sčítání, tedy vždy se odečítají čísla, která se nachází na stejných pozicích.   

   

      Př. 7. Odečítání matic:   

   

      Odečtěme dvě matice: a    

   

         

   

      Násobení matice číslem je operace, která může probíhat mezi jakýmkoliv číslem a jakoukoliv maticí. Postup je jednoduchý, každý člen matice je vynásoben konkrétním číslem, kterým matici násobíme.   

   

      Př. 8. Násobení matice číslem:   

   

      Vynásobme číslo 3 a matici    

   

      3 x = =    

   

      Násobení dvou matic je operace, která je prováděna mezi dvěma maticemi za podmínky, že druhá matice má právě tolik řádků, kolik má první matice sloupců. Je tedy zřejmé, že násobení dvou matic je možno provádět například u dvou čtvercových matic, které mají stejnou velikost. Postup probíhá následovně: Vezmeme první řádek první matice a násobíme ho s prvním sloupcem druhé matice a to tak, že první člen prvního řádku první matice násobíme s prvním členem prvního sloupce druhé matice a výsledek zapíšeme jako první člen prvního řádku výsledné matice, dále pokračujeme tak, že vezmeme druhý člen prvního řádku první matice a vynásobíme ho druhým členem prvního sloupce druhé matice a výsledek zapíšeme jako druhý člen prvního řádku výsledné matice. Stejně pokračujeme až do posledního členu prvního řádku první matice, který násobíme posledním členem prvního sloupce druhé matice a výsledek zapíšeme jako poslední člen prvního řádku výsledné matice. Nyní lze přistoupit na další řádek. Bude nás tedy zajímat druhý řádek první matice, který budeme násobit s druhým sloupcem druhé matice, obdobným postupem jako u prvního řádku nám tak vznikne celý druhý řádek výsledné matice. To samé budeme aplikovat i na další řádky u první matice, respektive sloupce u druhé matice. Vypadá to strašně složitě, ale není to pravdou, chce to však maximum pozornosti.   

   

      Př. 9. Násobení dvou matic   

   

      Vynásobme mezi sebou matice a    

   

      x = = =    

   

      Problematika matic je dosti obsáhlá, my se zaměřujeme pouze na základní informace a operace, které jsou nejrozšířenější.   

   

      Uvedeme ještě jeden příklad, tentokráte na řešení jednoduchých maticových rovnic.   

   

      Př. 10. Maticová rovnice   

   

      Vypočítejme neznámou x u maticové rovnice   

   

         

   

      - =    

   

      -    

   

      =    

   

      = x = 1   

   

      - V tomto případě postupujeme velmi jednoduše, využíváme pravidla počítání s rovnicemi a současně pravidla pro sčítání a odečítání matic. Matice, ve které se vyskytuje neznámá, ponecháme na jedné straně a ostatní matice převedeme na stranu druhou a dopočítáme jejich operace. V okamžiku, kdy nám na každé straně zůstane pouze jedna matice, již můžeme jednoduše dle rovnosti určit, které číslo je proměnná x.   

 

Překlad z a do vietnamštiny | Online překladač