Mnohočleny - Matematika



Mnohočlenem je v matematice označen výraz, který seskládá, jak již název napovídá, z několika jednotlivých členů.V mnohočlenu se vyskytují koeficienty a proměnné. Každý člen seskládá buď pouze z koeficientu, tedy čísla, nebo z koeficientu a proměnné určitého stupně. Proměnné se v mnohočlenech mohou nacházet jak v jednotkách, tak i nejrůznějších mocninách. Stupněm, nebo-li řádem mnohočlenu, se rozumí nejvyšší mocnina, která se vyskytuje u některé proměnné.

Mnohočlen s více proměnnými znamená, že se ve výrazu vyskytuje větší počet neznámých, čili proměnných. Synonymem a zároveň správnějším a odbornějším názvem pro mnohočlen je polynom.

Operace s mnohočleny

S mnohočleny lze provádět veškeré základní matematické operace. Jedná se zejména o sčítání, odečítání, násobení a dělení. 

Aby bylo naše obecné a zřejmě složité povídání lépe pochopitelné, ukážeme si několik příkladů mnohočlenů:

Př. 1. Mnohočlen prvního stupně:

x + 2

-         v tomto mnohočlenu se vyskytuje proměnná x a dvakoeficienty, a to sice koeficient 1 u proměnné x a jednotkovýkoeficient 2, mnohočlen je prvního stupně

Př. 2. Mnohočlen třetího stupně:

2x3 + 3x2 + 4x+ 5

-         v tomto mnohočlenu se vyskytuje proměnná x třetího stupně,druhého stupně a prvního stupně, jedná se tedy o mnohočlen o jedné proměnné třetího stupně se čtyřmi koeficienty a to na místě proměnné třetího řádu je to koeficient 2, na místě proměnné druhého řádu koeficient 3, namístě proměnné prvního řádu koeficient 4 a na místě jednotek potom koeficient 5

Př. 3. Mnohočlen třetího stupně o dvou neznámých:

x3 + 3y2 + 4y+ 5

-         v tomto mnohočlenu si demonstrujeme, jak může vypadat polynom se dvěma neznámými, v našem případě jde o neznámou x a y,mnohočlen je třetího stupně, protože největší mocnina neznámé je „na třetí“,koeficienty jsou následující: u proměnné x třetího řádu je to číslo 1,u proměnné y druhého řádu je to číslo 3 a u proměnné prvního řádu je to číslo 4, na místě jednotek je potom koeficient 5

Př. 4. Mnohočlen čtvrtého stupně o třech neznámých:

x4 + 3y3 + z2 + 3y+ 4z+ 5

-         jedná se o mnohočlen čtvrtého stupně, protože největší mocnina u proměnné je „na čtvrtou“, mnohočlen má tři proměnné a to x, y a z,koeficienty jsou následující: u proměnné x čtvrtého stupně je to číslo 1,u proměnné y třetího stupně číslo 3, u proměnné z druhého stupně číslo 1, u proměnné y prvního stupně číslo 3, u proměnné z prvního stupně číslo 4 a jednotkový koeficient je číslo 5

 

V mnohočlenu může být nekonečně mnoho proměnných astejně tak i nekonečně mnoho koeficientů. Obecně lze zápis mnohočlenus jednou neznámou vyjádřit následujícím způsobem: a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + … + anxn

-         jednotlivé sčítance představují členy mnohočlenu, a0 je jednotkový koeficient, a1 je koeficient na místě proměnné xprvního stupně, a2 je koeficient na místě proměnné druhého stupně, atd., uvedený zápis mnohočlenu vyjadřuje polynom n-tého stupně, protože největší mocnina je „na n“

 

S mnohočleny se v matematice pracuje tak, že sek nim doplní jejich druhá strana, tzn. jsou zadány ve stylu rovnice. Pokud se nějaký mnohočlen rovná nule, říká se o něm, že je to nulový polynom.

 

Př. 5. Nulový polynom:

3x2 + 4x+ 5 = 0

 

Základní operace s mnohočleny včetně jejich popisů si ukážeme na příkladech.

 

Př. 6. Sčítání mnohočlenů:

Máme dva mnohočleny: 3x2 + 4x+ 5 a 6x2+ x+ 1, sečtěme je!

3x2 + 4x+ 5 + 6x2 + x + 1 = 9x2+ 5x + 6

-         zde si musíme uvědomit, že můžeme sčítat pouze shodné koeficienty, tedy taková čísla mezi sebou, která představují koeficienty stejného řádu, v tomto příkladu mezi sebou sčítáme konkrétně koeficienty u proměnné x druhého řádu, tedy čísla 3 a 6, koeficienty u proměnné x prvního řádu, tedy čísla 4 a 1 a koeficienty jednotkové, tedy čísla 5a 1

 

Př. 7. Odčítání mnohočlenů:

Máme dva mnohočleny: 6x2 + 4x+ 5 a x2 +2x + 3, odečtěme je!

6x2 + 4x+ 5 – (x2 + 2x + 3) = 6x2+ 4x+ 5 – x2 - 2x – 3 = 5x2 + 2x + 2  

-         opět si musíme uvědomit, že můžeme odečítat pouze shodné koeficienty,tedy taková čísla mezi sebou, která představují koeficienty stejného řádu,v tomto příkladu mezi sebou odečítáme konkrétně koeficienty u proměnné druhého řádu, tedy čísla 6 a 1, koeficienty u proměnné prvního řádu, tedy čísla 4 a 2 a koeficienty jednotkové, tedy čísla 5 a 3

-          

Př. 8. Násobení mnohočlenů:

Máme dva mnohočleny: x + 5 a x + 3, vynásobme je!

(x + 5) x (x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2+ 8x + 15  

-         u násobení je to již složitější, každý člen prvního výrazu musíme vynásobit každým členem druhého výrazu, koeficienty mezi sebou násobíme jako normální čísla a proměnné potom podle pravidel násobení výrazů

 

Př. 9. Dělení mnohočlenů:

Máme dva mnohočleny: x2 + 6x + 9 a x + 3, vydělme první mnohočlen druhým mnohočlenem!

(x2 + 6x + 9) / (x + 3) = (x + 3)

-         (x2 + 3x)

3x + 9

-         (3x + 9)

0

-         na první pohled vypadá tento zápis hodně nepříjemně, postup při dělení mnohočlenů je však jednoduchý, v našem případě jsme postupovali takto: první člen prvního mnohočlenu, tedy x2 jsme vydělili prvním členem druhého mnohočlenu tedy x, výsledkem je výraz x, nyní musíme tímto výrazem x vynásobit zpětně druhý mnohočlen, výsledek odečteme od prvního výrazu a budeme si všímat už pouze dalšího dílčího výsledku 3x +9, jehož první člen, tedy 3x vydělíme opět prvním členem druhého výrazu, tedy x, výsledkem je 3, opět aplikujeme zpětné násobení 3s druhým výrazem a vyjde nám 3x + 9, což je mnohočlen, který když odečteme od mnohočlenu, se kterým jsme počítali, tak nám vyjde 0, tzn.že výsledek je beze zbytku a je jím konkrétně mnohočlen x + 3, osprávnosti se můžeme přesvědčit případně násobením


Překlad z a do vietnamštiny | Online překladač