Geometrie – Thaletova a Pythagorova věta

Geometrie je část matematiky, která se zabývá tvary, body, přímkami, úhly a velikostmi. Dnes se podíváme na dvě velmi známé věty: Thaletovu a Pythagorovu větu. Obě se týkají trojúhelníků a pomáhají nám spočítat délky stran a určit, zda je trojúhelník pravoúhlý.

Thaletova věta

Thaletova věta říká: Když sestrojíme trojúhelník tak, že jeho přepona je průměrem kružnice a vrchol proti přeponě leží na kružnici, pak je tento trojúhelník pravoúhlý.

Jinými slovy, pokud máš kružnici a sestrojíš trojúhelník tak, že jeden jeho vrchol je ve středu, druhý na okraji a třetí také na okraji – přesně naproti, vždy vznikne pravoúhlý trojúhelník.

Thaletova věta se hodí, když máš kružnici a chceš vytvořit nebo poznat pravoúhlý trojúhelník. Využívá se třeba v geometrii při konstrukcích.

Příklad:

Sestroj kružnici s průměrem AB. Vyber bod C na kružnici mimo přímku AB. Spoj body A, B a C. Vznikne trojúhelník ABC. Tento trojúhelník bude pravoúhlý v bodě C.

Pythagorova věta

Pythagorova věta platí pro každý pravoúhlý trojúhelník. Pravoúhlý trojúhelník má jeden pravý úhel (90°) a stranu naproti tomuto úhlu nazýváme přepona. Zbylé dvě strany nazýváme odvěsny.

Pythagorova věta říká: Součet čtverců obou odvěsen se rovná čtverci přepony.

Zapisuje se jako:

a² + b² = c²

Kde a a b jsou délky odvěsen a c je délka přepony.

Příklad:

Máme pravoúhlý trojúhelník, kde jedna odvěsna měří 3 cm a druhá 4 cm. Jaká je délka přepony?

• a = 3
• b = 4
• c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
• c = √25 = 5

Přepona tedy měří 5 cm.

K čemu se věty používají?

• Thaletova věta se hodí při konstrukci pravoúhlých trojúhelníků a při práci s kružnicemi.
• Pythagorovu větu používáme, když chceme vypočítat délku strany pravoúhlého trojúhelníku.

Tyto věty se využívají nejen ve škole, ale i v praxi – třeba při stavbě budov, v architektuře, nebo při měření vzdáleností.

Procvičování

1. Urči, zda trojúhelník se stranami 5 cm, 12 cm a 13 cm je pravoúhlý.
2. Sestroj trojúhelník s přeponou 10 cm tak, aby vznikl pomocí Thaletovy věty. Kde bude pravý úhel?
3. Vypočítej délku přepony pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 6 cm a 8 cm.

Shrnutí

• Thaletova věta: Trojúhelník s přeponou jako průměrem kružnice má vždy pravý úhel.
• Pythagorova věta: Platí v každém pravoúhlém trojúhelníku a umožňuje spočítat strany podle vzorce a² + b² = c².