Rovnice a nerovnice patří mezi ty nejzákladnější prvky algebry, přesněji elementární algebry. Pokud si osvojíte základy v oblasti rovnic a nerovnic, pak je můžete využívat nejen v matematice, ale i ve fyzice, mechanice, termomechanice a podobně. Jde tedy o postupy, které jsou pro další studium téměř nezbytné.
Rovnice
Nejprve něco málo k rovnicím. Každá rovnice se skládá ze tří částí a to z levé strany, rovnítka a pravé strany. Na levou stranu zpravidla umisťujeme nějakou proměnnou, například x. Na pravou stranu po té pokládáme nějakou hodnotu nebo výraz, který odpovídá hodnotě x. Tento výraz si musíme často pomocí matematických úprav pozměnit tak, abychom se dostali k výsledku. Nejjednodušším příkladem rovnice je rovnice x= 2.
Jak na to? Máme třeba příklad x + 4 = 8. První věc co uděláme je, že si řekneme, že chceme vědět x. x je pro nás neznámá, pokusíme se ji nechat samotnou na jedné straně.
Jak ji ale nechat samotnout? Vadí nám tam čtyřka. Tu můžeme dát na druhou stranu s tím, že ji obrátíme její znaménko.
Takže to bude vypadat:
x = 8 - 4
nebo
x = -4 + 8
Je to úplně stejné, ale lépe se počítá jako 8 - 4.
Dále můžeme přemístit libovolně
0 = 8 - 4 - x
-8 = -4 -x
8 = 4 + x
ale pro nás bude nejlepší x = 8-4.
nyní vyřešíme druhou stranu a nám vychází x=2, což je výsledek.
Pokud by se v rovnici objevilo násobení či dělení, tak je to trošku složitější, pokusíme se zbavit sčítání a odčítání. Potom může nastat jedna ze tří variant:
x * 2 = 6 zde u násobení dáme dvojku na druhou stranu jako jmenovatel, x = 6 / 2
x / 2 = 6 zde u dělení, kde neznámá x je čitatel, dáme dvojku na druhou stranu jako násobení, x = 6 * 2
12 / x = 6 zde u dělení, kde neznámá x je jmenovatel, dvanáctku hodíme na druhou stranu jako čitatel, x = 12 / 6
U dělení je to složité a špatně se pamatuje, ale na to je takový trik. Základem je vědět, že násobení se změní v dělení a dělení v násobení.
pokud máme dělení v rovnici, jmenovatel dáme na druhou stranu a vynásobíme.
x / 5 = 25
x = 25 * 5
x = 125
nebo
15 / x = 5
x na druhé straně, násobení
15 = 5 * x
výsledek nemáme, tak pětku dáme na druhou stranu jako dělení, ať tam máme jenom x
15 / 5 = x
výsledek
3 = x
Řešte rovnici :
2x-2 = 0
-2 dáme na druhou stranu s obráceným znaménkem. Tedy z mínus na plus. Pozor, sčítání a odčítání první
2x = 2
Nyní máme násobení, tak dvojku dáme na druhou stranu a opakem násobení je dělení.
x = 2 / 2
a máme výsledek
x = 1
4x + 5 = 3
pětku dáme na druhou stranu s obráceným znaménkem. Pozor, sčítání a odčítání první.
4x = 3 - 5
můžeme vyřešit pravou stranu, abych to měli snadněji
4x = -2
čtyřku hodíme na druhou stranu s opakem násobením, tudíž dělení
x = -2 / 4
a vypočítáme
x = -0,5
Nerovnice
Nerovnice je rovnici dost podobná, především co se týče jejích úprav, ovšem došlo k jedné zásadní změně a to v dělícím znaménku. Rovnítko můžeme nahradit znaménky větší a menší a jejich kombinací s rovnítkem. Obecně platí, že řešením nerovnic není číslo, ale celá množina čísel. Při výpočtu a úpravách nerovnice můžeme dojít k názoru, že nerovnice řešení nemá.
Ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic
Ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic jsou takové úpravy, při nichž se nezmění funkčnost ani význam rovnice, ale pouze se usnadní její výpočet. Příkladem ekvivalentní úpravy rovnic je přehození stran rovnice. Dále můžeme k oběma stranám přičítat nějaké číslo. Pozor! Aby rovnice dále platila, musí být toto číslo na obou stranách stejné. Rovnici můžeme i vynásobit určitým číslem, ovšem s výjimkou nuly, která nemá smysl. Celou rovnici můžeme také vydělit, umocnit a podobně, stále ale musíme myslet na to, že pokud nevezmeme v úvahu obě strany rovnice, dojde k porušení platnosti.
Druhy rovnic a nerovnic
Rovnice a nerovnice se dají poměrně snadno klasifikovat do jednotlivých skupin. Například do lineárních, exponenciálních nebo do jejich soustav.
Rovnice
Nejprve něco málo k rovnicím. Každá rovnice se skládá ze tří částí a to z levé strany, rovnítka a pravé strany. Na levou stranu zpravidla umisťujeme nějakou proměnnou, například x. Na pravou stranu po té pokládáme nějakou hodnotu nebo výraz, který odpovídá hodnotě x. Tento výraz si musíme často pomocí matematických úprav pozměnit tak, abychom se dostali k výsledku. Nejjednodušším příkladem rovnice je rovnice x= 2.
Jak na to? Máme třeba příklad x + 4 = 8. První věc co uděláme je, že si řekneme, že chceme vědět x. x je pro nás neznámá, pokusíme se ji nechat samotnou na jedné straně.
Jak ji ale nechat samotnout? Vadí nám tam čtyřka. Tu můžeme dát na druhou stranu s tím, že ji obrátíme její znaménko.
Takže to bude vypadat:
x = 8 - 4
nebo
x = -4 + 8
Je to úplně stejné, ale lépe se počítá jako 8 - 4.
Dále můžeme přemístit libovolně
0 = 8 - 4 - x
-8 = -4 -x
8 = 4 + x
ale pro nás bude nejlepší x = 8-4.
nyní vyřešíme druhou stranu a nám vychází x=2, což je výsledek.
Pokud by se v rovnici objevilo násobení či dělení, tak je to trošku složitější, pokusíme se zbavit sčítání a odčítání. Potom může nastat jedna ze tří variant:
x * 2 = 6 zde u násobení dáme dvojku na druhou stranu jako jmenovatel, x = 6 / 2
x / 2 = 6 zde u dělení, kde neznámá x je čitatel, dáme dvojku na druhou stranu jako násobení, x = 6 * 2
12 / x = 6 zde u dělení, kde neznámá x je jmenovatel, dvanáctku hodíme na druhou stranu jako čitatel, x = 12 / 6
U dělení je to složité a špatně se pamatuje, ale na to je takový trik. Základem je vědět, že násobení se změní v dělení a dělení v násobení.
pokud máme dělení v rovnici, jmenovatel dáme na druhou stranu a vynásobíme.
x / 5 = 25
x = 25 * 5
x = 125
nebo
15 / x = 5
x na druhé straně, násobení
15 = 5 * x
výsledek nemáme, tak pětku dáme na druhou stranu jako dělení, ať tam máme jenom x
15 / 5 = x
výsledek
3 = x
Řešte rovnici :
2x-2 = 0
-2 dáme na druhou stranu s obráceným znaménkem. Tedy z mínus na plus. Pozor, sčítání a odčítání první
2x = 2
Nyní máme násobení, tak dvojku dáme na druhou stranu a opakem násobení je dělení.
x = 2 / 2
a máme výsledek
x = 1
4x + 5 = 3
pětku dáme na druhou stranu s obráceným znaménkem. Pozor, sčítání a odčítání první.
4x = 3 - 5
můžeme vyřešit pravou stranu, abych to měli snadněji
4x = -2
čtyřku hodíme na druhou stranu s opakem násobením, tudíž dělení
x = -2 / 4
a vypočítáme
x = -0,5
Nerovnice
Nerovnice je rovnici dost podobná, především co se týče jejích úprav, ovšem došlo k jedné zásadní změně a to v dělícím znaménku. Rovnítko můžeme nahradit znaménky větší a menší a jejich kombinací s rovnítkem. Obecně platí, že řešením nerovnic není číslo, ale celá množina čísel. Při výpočtu a úpravách nerovnice můžeme dojít k názoru, že nerovnice řešení nemá.
Ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic
Ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic jsou takové úpravy, při nichž se nezmění funkčnost ani význam rovnice, ale pouze se usnadní její výpočet. Příkladem ekvivalentní úpravy rovnic je přehození stran rovnice. Dále můžeme k oběma stranám přičítat nějaké číslo. Pozor! Aby rovnice dále platila, musí být toto číslo na obou stranách stejné. Rovnici můžeme i vynásobit určitým číslem, ovšem s výjimkou nuly, která nemá smysl. Celou rovnici můžeme také vydělit, umocnit a podobně, stále ale musíme myslet na to, že pokud nevezmeme v úvahu obě strany rovnice, dojde k porušení platnosti.
Druhy rovnic a nerovnic
Rovnice a nerovnice se dají poměrně snadno klasifikovat do jednotlivých skupin. Například do lineárních, exponenciálních nebo do jejich soustav.